Die Dynamik der Leewellenströmung

4 Die Dynamik der Leewellenströmung

			4.1 Die grundlegenden Gleichungen
			4.2 Das Modell der Ausbreitungswelle (Vertically Propagating Wave)
			4.3 Das Modell der Resonanzwellen (Trapped Waves)
			4.4 Einschränkungen und Anwendungen

In diesem Kapitel werden die Grundsätze der Theorie von zweidimensionalen, orographisch induzierten Schwerewellen behandelt. Die hier sehr vereinfachte dargestellte Form der Theorie von Gebirgswellen soll ein grundlegendes Verständis über die Dynamik von Gebirgswellen liefern. Für nähere Details sei auf Scorer (1949, 1953, 1978), Sawyer (1960), Smith (1979), Durran (1990), Holton (1992), Hoinka (1990), Keller (1994), WMO (1960) verwiesen.

4.1 Die grundlegenden Gleichungen

Eine theoretische Behandlung von orographisch induzierten Leewellen benötigt einen Satz von Gleichungen, wobei folgende Annahmen getroffen werden:

Betrachtet wird eine zweidimensionale, reibungsfreie, laminare, sich im hydrostatischen Gleichgewicht befindende Grundströmung, die in der x - z - Ebene im Zuge der Gebirgsüberströmung in z - Richtung ausgelenkt wird. Der Wind und die Stabilität sei vertikal konstant. Bei mesoskaligen Bewegungsvorgängen, wie es die Gebirgsüberströmung über die Alpen darstellt, ist der Einfluss der Erdrotation vernachlässigbar, d.h. es werden keine Corioliseffekte berücksichtigt. Weiters seien die Bewegungsvorgänge isentrop, d.h. es treten keine Phasenübergänge, turbulente Durchmischung und strahlungsbedingte, diabatische Prozesse auf. Ferner wird noch angenommen, dass die durch das Gebirge auftretenden Störungen im Vergleich zu den Größen, die den Grundzustand der Strömung beschreiben, sehr klein sind (Linearisierungsannahme). Zudem wird von einer sogenannten Boussinesq-Approximation ausgegangen, das bedeutet, dass die auf Druckschwankungen basierenden Dichtefluktuationen gegenüber jenen auf Temperaturschwankungen basierenden Dichtestörungen vernachlässigbar sind. Ansonsten sei die Grundströmung als inkompressibel angenommen.

Zur Beschreibung von Gebirgswellen werden folgende Gleichungen verwendet:

	Bewegungsgleichung:
	Die Horizontalkomponente der Bewegungsgleichung (GL. 2.3) nimmt unter Berücksichtigung der oben genannten Annahmen folgende Form an

	bzw. die Vertikalkomponente

	wobei die total zeitliche Ableitung gegeben ist als (Euler - Operator)

	Kontinuitätsgleichung:

	Isentropie:

	wobei nach der Poissongleichung die potentielle Temperatur definiert ist als

Zudem kommen noch die Gasgleichung (Gl. 2.8) und die hydrostatische Gleichung (Gl. 2.6) zur Anwendung.

Der Grundzustand der Strömung wird beschrieben durch mittlere Größen, die durch auftretenden Störungen entsprechend verändert werden (Linearisierung):

Durch Linearisierung der Gl. 4.1 bis Gl. 4.4 und unter Berücksichtigung der oben genannten Annahmen bzw. Vereinfachungen läßt sich eine einfache Gleichung zur Berechnung der durch das Gebirge hervorgerufenen Vertikalbewegung

bestimmen:

Da es sich bei Gebirgswellen um stationäre Wellen handelt, vereinfacht sich Gl. 4.6 zu

Diese Differentialgleichung zweiter Ordnung läßt sich durch folgenden Wellenansatz lösen (Durran, 1990)

wobei Aund B komplexe Amplituden und k die horizontale Wellenzahl bzw. m die vertikale Wellenzahl ist.

ist die Vertikalgeschwindigkeit, mit der die anfangs ungestörte, horizontale Stromlinie ausgelenkt wird. Die zur Lösung von Gl. 4.7 notwendingen Randbedingungen sind durch die "untere" bzw. "obere" Randbedingung vorgegeben. Die untere Randbedingung legt fest, dass die unterste Stromlinie parallel zur Modelltopographie ist, somit kann k, die horizontale Wellenzahl, aus Gl. 4.8 als "orographische Wellenzahl" aufgefaßt werden. (Smith, 1979). Nach der oberen Randbedingung, die sogenannte Strahlungsbedingung (radiation condition) gibt es keinen nach unten gerichteten Energietransport. Demzufolge ist nur ein nach oben gerichteter Energietransport möglich. (Barry, 1994)

Einsetzen von Gl. 4.8 in Gl. 4.7 führt zur Dispersionsbeziehung

Die Größen N, k und

charakterisieren die überströmte Topographie und die vertikale Struktur der Atmosphäre hinsichtlich des Windes und der Stabilität. Der Quotient auf der rechten Seite in Gl. 4.9 stellt die einfachste Form des Scorerparameters (vgl. dazu Gl. 4.16)

dar (vgl. Kapitel 4.3). Gl. 4.9 kann somit auch geschrieben werden als

bzw.

Das Vorzeichen der Diskriminante in Gl. 4.12 ist von wesentlicher Bedeutung, wodurch zwei Fälle zu unterscheiden sind:

A) k < l:

Wenn k < l ist, dann folgt nach Gl. 4.12, dass m eine reelle Zahl ist. Unter Verwendung der Randbedingungen nimmt Gl. 4.8 nach Bestimmung der Koeffizienten A und B die Form

an, wobei A_i der Imaginärteil der komplexen Amplitude A ist. Das heißt, dass sich der wellenförmige Charakter der Strömung nach oben hin, ohne Verringerung der Amplitude, erhalten bleibt. Es liegt der Fall von Vertically Propagating Waves vor.

B) k > l :

Wenn k > l ist, dann folgt nach Gl. 4.12, dass m eine imaginäre Zahl ist. Unter der Verwendung von

nimmt Gl. 4.8 die Form

an. Wie in Gl. 4.14 ersichtlich, wird die Amplitude mit zunehmender Höhe exponentiell geschwächt. Man nennt diesen Typ Evanescent Waves.